群论：2次方程的求根公式

     

#头条创作挑战赛#

2次方程x^2 + bx + c = 0的求根公式都很熟悉，用配方法就可以得出来。

现在咱从群论的视角分析一下2次方程的求根，这叫高观点下的中学数学[呲牙]

任何一般n次方程x^n + ax^(n-1)+ ... = 0，都可以通过换元x = y - a/n来消去n-1次项，2次方程也不例外。

以x = y - b/2换元，可以获得：

y^2 - by + b^2/4 + by - b^2/2 + c

= y^2 -(b^2 - 4c) / 4

= y^2 + q = 0，

其中 q = - (b^2 - 4c)/4，它的分子就是2次方程的判别式 b^2 - 4c.

2次方程有2个根y1, y2，可以因式分解为：

(y - y1)(y - y2) = y^2 - (y1 + y2)y + y1y2 = 0.

所以根与系数的关系是：

y1 + y2 = 0,

y1y2 = q.

当然，用群论去分析2次方程的求根，纯属高射炮打蚊子，拿它当例子只是为了让群论通俗一点。

1，考虑1的2次复数根，

1的2次复数根是1和-1，二者相差180度。

我们都知道它们是实数，但我们要以复数的视角来看。

-1相当于是经过2次乘法就可以回到1的变换！

因为它一次相当于把单位元的半径旋转180度，再旋转一次就回到原位置了。

从欧拉公式上很容易看出这点，e的指数的分母是2。

2，考虑根y1, y2之间的对称变换，

y1, y2之间的对称变换只有2种：

e：按1, 2的自然顺序，y1->y1, y2->y2，

a：让1, 2对换，y1->y2, y2->y1。

自然顺序就是这2个根的对称变换的单位元，1, 2对换就是单位元之外的另1个元素。

我们把单位元用字母e表示，把另一个元素用字母a表示，它们组成的集合就是S2对称群：

S2 = {e, a} = {e, (1 2)}.

自然顺序一般只写个e就行，对换的2个数字写在小括号里。

S2是只有2个元素的封闭集合，它的元素表示1,2之间的变换关系。

变换关系之间的合成运算，就是S2上的“广义乘法”。

ae的意思是先用e对1, 2进行变换，然后再用a对e的变换结果进行变换：

ae[1, 2] = a(e([1, 2])).

e可以当作2阶单位矩阵：

1, 0,

0, 1.

a可以当作2阶矩阵：

0, 1,

1, 0.

把1, 2当作列向量v：

1,

2.

那么ev的结果就是列向量[1, 2]^T，av的结果就是列向量[2, 1]^T。

a^2 = aa的结果就是e！

把1,2对换一次，然后把1,2再对换一次就会回到自然顺序，与矩阵乘法的结果一致。

所以说 S2 = {e, (1 2)} 这个集合上，可以定义这么一个广义的乘法运算：

1）它有单位元e，（ae = ea, ee = e）

2）有逆元（a的逆元还是a，aa = e），

3）符合结合律，a(ae) = (aa)e，

4）而且是封闭的，那2个矩阵乘出花样来也还是那2个矩阵。

所以，S2与它上面的广义乘法构成一个群：而且它跟2阶单位矩阵、反单位矩阵组成的集合一一对应。

把列向量v里的1, 2换成y1, y2，S2的这个运算就是根之间的对称变换。

也就是说，S2作用到根上时，实际变换的是根的下标。

在根的下标变化时不变的函数，都是根的对称函数！

y1 + y2 和 y1y2 都是根的对称函数，它们同时也是2次方程的系数！

3，方程的求根与S2的可解，

S2上的元素之间的合成，都是可以返回去的！

a^2 = e，所以a对根的变换，只需要再用a变一次就可以返回去了。

e不会对根做改变，变换前后都是自然顺序。

所以，S2肯定是可解群。

另外，S2是2阶循环群，因为a^2 = e.

2阶循环群与1的2次复数根是一一对应的，也就是与-1, 1是一一对应的。

因为-1, 1本身就在有理数Q里，所以不需要额外添加它：这里和3次复数根还是有差别的，2次复数根是实数。

考虑y1, y2 通过 -1, 1的线性组合，它实际上只有1个表达式：

y1 - y2 = u，

这就是2次方程的拉格朗日预解式[捂脸]

S2里的元素a = (1 2) 对y1, y2变换时，u的符号是改变的，但u^2的符号是不变的。

所以u^2就是2次方程的判别式：

u^2 = (y1 - y2)^2 = (y1 + y2)^2 - 4y1y2.

用方程y^2 + q = 0的系数把它表达出来，就是u^2 = -4q.

我们在文章的开头就算出来了q = -(b^2 - 4c) / 4，

所以u^2 = b^2 - 4c，这就是（首项系数为1的）2次方程的判别式！

u = (-4q)^0.5就是从Q扩张到F = Q(u) 时需要添加的无理数！

F叫做多项式的分裂域，从Q到F的扩张在2次方程的情况下是2次扩张：因为它添加的是判别式的平方根。

再根据n-1次项的系数为0（2次方程的就是1次项）：

y1 + y2 = 0,

y1 - y2 = (-4q)^0.5,

所以，方程的解是：

y1 = (-4q)^0.5 / 2,

y2 = -(-4q)^0.5 / 2.

再把 x = y - b/2, u^2 = -4q = b^2 - 4c 换回去，就是：

x1 = -b/2 + (b^2 - 4c)^0.5 / 2,

x2 = -b/2 - (b^2 - 4c)^0.5 / 2.