AI学习05-监督学习之线性回归

     

1、线性回归原理

线性回归是一种最基本的监督学习算法，主要用于解决回归问题。它的基本思想是假设输入（自变量）和输出（因变量）之间存在线性关系，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，求解出线性关系的参数。

假设有m个特征的输入数据，用向量表示为 x =[x1, x2,..., xm]，线性回归模型的预测公式为：

y = w1x1+ w2x2+ ...+ wm*xm + b

其中，w1, w2,..., wm为权重参数，b为偏置项，都是需要我们通过学习数据找出的。

2、梯度下降算法

梯度下降是一种用于求解最优化问题的迭代方法，它的基本思想是：在每次迭代过程中，按照目标函数梯度方向的负方向进行搜索，以此来更新参数，直到找到目标函数的最小值点。

在线性回归中，我们的目标函数通常是均方误差（Mean Squared Error，MSE）：

J(w, b)= 1/2N *(y(i)- (w*x(i)+ b))^2

其中，N为样本数量，y(i)为第i个样本的实际值，w*x(i)+ b为第i个样本的预测值。

通过梯度下降，我们可以迭代地更新w和b，使得J(w, b)尽可能小。具体的，更新公式如下：

w := w -* [gf]2202[/gf]J/[gf]2202[/gf]w

b := b -* [gf]2202[/gf]J/[gf]2202[/gf]b

其中，为学习率，是一个需要人为设定的参数，决定了每次更新的步长。

3、正则化技术

正则化是一种用于防止过拟合的技术。在机器学习中，过拟合通常发生在模型过于复杂，能够在训练数据上达到很高的准确度，但在新的、未见过的数据上表现很差。

在线性回归中，我们常用的正则化技术有L1正则化（也称为Lasso回归）和L2正则化（也称为岭回归）。它们通过在目标函数中加入对参数的惩罚项，使得模型不仅要拟合数据，还要保持模型的复杂度。

在L1正则化中，我们在目标函数中加入权重的绝对值作为惩罚项：

J(w, b)= 1/2N *(y(i)- (wx(i)+ b))^2+ w

在L2正则化中，我们在目标函数中加入权重的平方和作为惩罚项：

J(w, b)= 1/2N *(y(i)- (wx(i)+ b))^2+ w^2

其中，为正则化系数，是一个需要人为设定的参数，决定了对模型复杂度的惩罚力度。

总的来说，线性回归、梯度下降和正则化都是机器学习中的重要概念，它们在解决实际问题中有着广泛的应用。

4、案例

4.1案例1：房价预测

我们首先用一个经典的例子来说明线性回归和梯度下降：房价预测。假设我们拥有一个数据集，其中包含房屋的面积（平方米）和相应的售价（万元）。我们的目标是根据给定的房屋面积来预测房屋的售价。

我们可以用线性回归模型来描述房价和面积之间的关系：价格= w *面积+ b，这里，w和b是我们需要通过数据学习得到的参数。为了求解这些参数，我们需要一个优化目标，这就是最小化预测价格和真实价格之间的平方误差。使用梯度下降算法，我们可以迭代地更新参数w和b，使得误差最小。

4.2案例2：在线广告点击预测

再来看一个线性回归和正则化的例子：在线广告点击预测。假设我们是一个网络广告公司，我们拥有用户的各种信息，比如年龄、性别、职业、浏览历史等，我们的目标是预测用户点击某个广告的概率。

这是一个典型的线性回归问题，但这里我们有很多特征，并且这些特征可能存在多重共线性（也就是说，这些特征不是完全独立的）。为了避免过拟合，我们可以使用正则化技术，如L1正则化或L2正则化，这样可以防止模型对某些特征过于敏感，提高模型的泛化能力。

4.3案例3：股票价格预测

最后来看一个线性回归、梯度下降和正则化都有的例子：股票价格预测。我们有一些历史股票价格数据，以及一些可能影响股票价格的因素，如公司的盈利数据、经济指标等。我们的目标是预测未来的股票价格。

这个问题可以用线性回归模型来解决，但由于我们有很多可能相关的因素，所以模型可能会变得很复杂，导致过拟合。为了避免这种情况，我们可以使用L1或L2正则化来限制模型的复杂度。同时，由于股票价格数据可能存在噪声，我们可以用梯度下降算法来迭代地更新模型参数，找到使得预测错误最小的模型。

5、名词解释

5.1梯度

在数学上，梯度是一个向量（矢量），表示了某一函数在特定点处的方向导数沿着该方向取得最大值。在多元函数的情况下，梯度的方向指向函数值上升最快的方向，而梯度的大小（模）则是函数值在那个方向上的变化率。

用更直观的方式来理解，你可以将梯度想象成你站在山坡上，梯度的方向是最陡峭的上坡方向，而梯度的大小则表往那个方向走，你会上升得多快。

在机器学习中，我们常常需要最小化一个损失函数，为此，我们可以利用梯度的性质：负梯度方向是函数值下降最快的方向。这就是梯度下降算法的原理。

5.2负梯度的例子：

假设你正在爬山，但你的目标是下山到达山底的一个湖边。这时你在山上的某一点，你看不见湖，也不知道怎么走。然而你有一把指南针，它可以告诉你哪个方向的坡度最陡。这个“最陡的方向”就是梯度的方向。然而你想下山，所以你需要走的是与“最陡的方向”完全相反的方向，这就是负梯度的方向。你一步步地按照负梯度的方向走，最终你就会到达山底的湖边。在这个例子中，山的高度就像是机器学习中的损失函数，而湖边就是损失函数最小的地方。你一步步地按照负梯度的方向走，就像是机器学习模型在训练过程中一步步地更新参数以减小损失。

5.3拟合

拟合（Fitting）在统计学和机器学习中通常指的是一个过程，即根据一组观测数据找出一个函数，使得这个函数能在某种意义上最好地近似描述这组数据。这个函数就叫做拟合函数，常见的拟合函数有线性函数、多项式函数等。

比如在线性回归问题中，我们的目标就是找到一条直线（也就是一个线性函数），使得这条直线能尽可能地接近所有的数据点，这就是线性拟合。

过拟合（Overfitting）和欠拟合（Underfitting）是机器学习中两个重要的概念。过拟合是指模型过于复杂，以至于不仅拟合了数据中的有效模式，还拟合了数据中的噪声，这样会导致模型在新数据上的泛化性能下降。而欠拟合则是指模型过于简单，以至于无法捕捉到数据中的有效模式，这样会导致模型在训练数据和新数据上的性能都不好。

5.4拟合的例子：

假设你是一个农民，你有过去几年的农作物产量和当年的降雨量的数据。你注意到，降雨量似乎对农作物的产量有影响，于是你决定用这些数据来预测未来的农作物产量。

这个时候，你就需要进行拟合。你可以尝试找到一个函数，该函数以降雨量为输入，预测农作物产量为输出。在这个例子中，你可能会试图找到一个线性函数（即 y = ax + b），其中x是降雨量，y是农作物产量，a和b是你需要拟合的参数。你可以通过最小化预测产量和真实产量之间的差距来找到最佳的a和b。这个过程就叫做拟合。

然而，你还需要注意过拟合和欠拟合的问题。如果你的函数过于复杂，比如一个高阶多项式函数，那么它可能会完美地匹配所有的数据点，但在预测新的数据时可能表现得不好，这就是过拟合。反之，如果你的函数过于简单，比如一个常数函数，那么它可能无法捕捉到降雨量和农作物产量之间的关系，这就是欠拟合。